布朗Brown運動的最大值怎么計算

日期：2023-01-30 14:17:32 來源：互聯網

將Brown運動應用于股票價格,我們關心的另外一點是未來一段時間股價達到的最高價.我們來分析Brown運動在[0, t]的最大值maxX(s).我們可以分析maxX(s)達到某一水平a的概率分布P|maxX(s)≥a}.顯然隨機變量maxX(s)在[0, t]上能超過a與在[0,t]上首次達到a的概率是相同的,即P|maxX()≥al=P(T.≤1)≈Jζ°e idy.0≤≤1π JaNi故隨機變量M(t) = maxX(s)的密度函數fsmo(a)為0≤≤1fmo(a)=- =exp{-a*/2t} (a≥0).√2πt

也就是說,給定任意一個希望達到的股價(或投資回報率)a,我們都可以求出未來--段時間[0, 1]內達到這個價位的可能性f(a).定義若{X(t),t≥0}是Brown運動,則由Y(t)=eXI"定義的過程{Y(t), 1≥0}稱為幾何Brown運動.由于X(t)是均值為0,方差為t的正態變量,我們可以得出Y(t)的分布特征為

E[Y(t)] = E[exX()]= e'r,var[Y(t)]= E[Y(t)]- E[Y(t)]* = e"-e'.在分析股票的價格行為特點時,我們假設InP,- InP,- 序列

獨立同分布，lnP,- InP1- 正好表示[t-1, t]間的連續時間收益率.

我們將[0, 1]分成n個小區間,對應的價格分別為{Po,

P, .. P,I,由P, =P Pz

P。P

得到

InP。= (InP1 - InP.)+ (InP:一lnPl)+...

+(InP,- InP_1).

由于股價在小區間內的收益率(InP,- InP-1)是獨立同分布的，由中心極限定理知，lnP。是服從正態分布的.又由于序列{InP,-lnP,-1}是獨立的，因此{InP. }是Brown運動,即股價序列{P,}服從幾何Brown運動.例如,設一個人在將來的一個時刻T又以固定的價格K購買-股某種股票的期權,假設股票目前的價格為yo,且它的價格按照幾何Brown運動變化.試計算期權在T時刻的價格的期望值.令Y(t) = vex(), X(0)= 0, X(t)服從Brown運動.因此

在這里,股價的對數序列X(1)在經過[0, T]后其期望值仍為0,這與人們對股票資產的期望回報率大于無風險利率不一-致.因此在實際中,我們常引入下面的一般化的Brown運動.定義我們說 {X(l), t≥0}是漂移系數為p的Brown運動,若

(1) X(0) = 0;

(2) {X(t), t≥0}有平穩獨立增量;

(3) X(t)服從均值為pt,方差為t的正態分布.

有漂移的Brown運動可寫成X(t)=μt + B(1),其中B(t)是標準Brown運動.例1.1設隨機游動過程為標準Brown運動,求在95%的概率下到達6所需的單位時間.解由公式P(T。≤a) = 2P(X(l)≥a)得

查標準正態分布表,得重(0.06)= 1-0.475, l=0.06)= 10 000，因此為了到達目標位置6,在95%概率下需要10 000個單位時間.

例1.2設隨機游動過程 X(t)服從漂移為μ= 6的Brown運.動,求在95%的概率下到達6所需的單位時間.解由公式

P(T.≤a) = 2P(X(t)≥a)= -√2πtJ.dr,得，從而轉化為標準正態分布,查表得t= 1.

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